Какой цифры нет в двоичной системе счисления и что это такое

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Он используется в повседневной жизни и является наиболее распространенным. Все числа, которые нас окружают, представлены в этой системе. В каждой цифре этого числа можно использовать одну цифру от 0 до 9.

Двоичная система нумерации. Используется в информатике. Цифры 0 и 1 используются для записи числа.

Восьмеричная система счисления. Иногда также используется в цифровой технике. Цифры от 0 до 7 используются для регистрации номера.

Шестнадцатеричная система счисления. Чаще встречается в современных компьютерах. Его использование, например, указывает на цвет. # FF0000 красный. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F, которые обозначают числа 10,11,12,13,14,15 соответственно.

Перевод в десятичную систему счисления

Вы можете преобразовать число из любой системы счисления в десятичную следующим образом: каждую цифру числа необходимо умножить на Xn, где X — основание исходного числа, n — номер цифры. Затем сложите полученные значения.

abcx = (a * x2 + b * x1 + c * x0) 10

Примеры:
5678 = (5 * 82 + 6 * 81 + 7 * 80) 10 = 375 · 10 · 1102 = (1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20) 10 = 610A516 = (10 * 161 + 5 * 160) 10 = 165 · 10

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Мы делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести, и отмечаем остаток от деления. Записываем полученные остатки в обратном порядке и получаем нужное число.

Перевод числа 37510 в восьмеричную систему:

375/8 = 46 (остаток 7) 46/8 = 5 (остаток 6) 5/8 = 0 (остаток 5) Запишите остаток, и вы получите 5678

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Способ 1:

Для преобразования в восьмеричную систему двоичное число нужно разделить на 3-значные группы справа налево. В последней (крайней левой) группе замените отсутствующие цифры слева нулями. Для каждой полученной группы умножьте каждый бит на 2n, где n — количество битов.

11012 = (001) (101) = (0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20) (1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20) = (0 + 0 + 1) (4 + 0 + 1) = (1) (5) = 158

Способ 2:

Как и в первом способе, делим номер на группы. Но вместо преобразований в скобках мы просто заменяем полученные группы (триады) соответствующими цифрами восьмеричной системы, используя таблицу триад:

ТриадаЧисло

000	001	010	011	сто	101	110	111
0	один	2	3	4	5	6	7

101110102 = (010) (111) (010) = 2728

Минимально необходимый теоретический базис

Чтобы полностью понять двоичные вычисления, необходимо разобрать или повторить основные определения. Это будет основой, чтобы вы могли понять, что будет написано дальше. К ним относятся такие концепции, как:

1. Цифры — знаки, которыми мы пишем числа (0-9);
2. Алфавит — это набор символов, которые мы используем для отображения числового значения. В арабском алфавите, который используется во всем мире, символы состоят из цифр от 0 до 9.
3. Цифра — место (положение) занимаемой цифры. Далее я наглядно покажу, что это такое.
4. Основание системы счисления — это количество символов, используемых для представления информации в желаемой системе счисления. Например, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F, 16 символов используются в шестнадцатеричных числах.
5. Система позиционной нумерации — системы, в которых значение цифры зависит от ее положения (позиции в номере). Например, в 1000 единица означает «тысяча», а в 10 — «десять». Число, представляющее знак «1», изменится.

Понимая все вышесказанное, можно добраться до сути дела. Нравится:

Двоичная система счисления — это позиционная система с основанием 2. Для отображения чисел используются два знака: 0 и 1.

В математике это обозначается с помощью нижнего индекса, где указывается основание. Кажется так
… Натуральные числа представлены по следующей формуле:

Немного о том, что означают буквы в формуле:

• а — числа (ноль или единица)
• n — номер последней позиции в номере. Начинаем отсчет с 0 и считаем справа налево
• k — индекс позиции

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Способ 1:

Разделяем номер на группы по 4 цифры справа налево. При необходимости заполните последнюю группу (слева) ведущими нулями. В каждой полученной группе мы умножаем каждую цифру на 2n, где n — номер цифры, и складываем результаты.

110102 = (0001) (1010) = (0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20) (1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20) = (0 + 0 + 0 +1) (8 + 0 + 2 + 0) = (1) (10) = 1A16

Способ 2:

Как и в первом способе, делим число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие числа шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

ТетрадаЧисло

0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	один	2	3	4	5	6	7	8	9	А	Б	С	Д	И	Ф

1011111002 = (0001) (0111) (1100) = 17C16

Правила сложения двоичных чисел

Основные правила сложения однобитовых чисел

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Из этого видно, что, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, добавляются бит за битом. Если бит переполняется, он передается следующему биту.

Практика

без практики сложно объяснить, как им пользоваться. Итак, давайте взглянем на пару примеров. Однако сначала вам необходимо загрузить таблицу, в которой значения двоичного кода представлены в десятичной форме. Я взял первый стол, который нашел в Интернете. Это будет выглядеть так:

Проблема 1: представляет 7 в двоичном формате, поэтому запишите его, используя формулу выше.

Для этого необходимо:

1. Последовательно разделите семь на 2, пока остаток не станет меньше или равным единице.
   Мы используем принцип деления «столбец».
   
2. Записываем значение в двоичной форме из остатков справа налево.
   
   Отвечать:
3. Сравним результат с таблицей
   
4. Запишем в виде ряда степеней
   
   n (количество крайних положений) = 2, т.к
   
   

Как видно из примера, здесь нет ничего сложного. Давайте посмотрим на что-нибудь посложнее и найдем более серьезную таблицу, которую я взял:

Действие 2: отображает 13 в двоичной системе счисления.

Все шаги останутся такими же, но я покажу вам другой способ выполнить первый шаг. Принцип такой же, но мне кажется более удобным.

Мы это понимаем

Посмотрим, что в таблице:

Ниже я представлю некоторые свойства, которые можно применить при работе с двоичной системой.

Читайте также: Рабочий стол электронщика: место радиотехника своими руками

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Способ 1:

Мы разделим каждую цифру восьмеричного числа на 2 и запишем остатки в обратном порядке, образуя трехзначные группы двоичного числа. Если в группе меньше 3-х цифр, интегрируем нулями. Отмечаем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если они есть, и получаем двоичное число.

Возьмем номер 438.
Делим 4 последовательно на 2 и получаем остаток 0,0,1. Пишем их в обратном порядке. Получаем 100.
Разделите 3 на 2 последовательно, и вы получите остаток 1,1. Записываем их в обратном порядке и интегрируем с ведущими нулями до трех цифр. Получаем 011.
Пишем вместе и получаем 1000112

Способ 2:

Воспользуемся триадной таблицей:

ЧислоТриада

0	один	2	3	4	5	6	7
000	001	010	011	сто	101	110	111

Каждая цифра исходного восьмеричного числа заменяется соответствующими трезвучиями. Начальные нули самой первой триады отбрасываются.

3518 = (011) (101) (001) = 0111010012 = 111010012

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Способ 1:

Подобно восьмеричному преобразованию в двоичное, только группы из 4 цифр.

Способ 2:

Используем тетрадный стол:

ЧислоТетрада

0	один	2	3	4	5	6	7	8	9	А	Б	С	Д	И	Ф
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Каждая цифра исходного числа заменяется соответствующими тетрадами. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

D816 = (1101) (1000) = 110110002

Полезные свойства

1. Добавляя ноль справа, вы удваиваете числовое значение. Выглядит это примерно так:
   
2. Всегда стоит ноль в конце четного числа и единица в конце нечетного числа. Если не верите, можете посмотреть таблицу =)
   
3. Числа, которые можно представить письменно —
   они записаны в k единицах в двузначном представлении.
   

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления — это язык современных вычислений.

Когда данные хранятся на компьютере, они кодируются числами. С числами компьютер выполняет операции, изменяя эти данные.

Допустим, у нас есть десятичное число 14, которое мы хотим сохранить в памяти компьютера. В этом случае мы будем использовать раздел памяти, состоящий как минимум из двух элементов, выделенных на бит. В одной из цифр мы храним десятичное число 1, в другой — число 4.

Элемент памяти — это физическое устройство. Если вы спроектируете его для хранения одного десятичного разряда, вам нужно будет создать устройство, которое может находиться в десяти различных физических состояниях и может переключаться между ними. Каждому из этих состояний будет соответствовать число от 0 до 9.

создать такой элемент памяти можно, но это сложнее и дороже, чем создать элемент, который может находиться только в двух состояниях. Свяжите одно состояние с нулем, второе — с единицей. Кроме того, такое хранение данных более надежно.

Следовательно, после получения числа 1110 оказалось проще перевести число 14 в двоичную систему счисления, и именно это число можно запомнить. И даже если это не два, а четыре бита, то есть четыре элементарных блока памяти.

Правила вычитания двоичных чисел

0-0 = 0
1-0 = 0
10-1 = 1

А как насчет 0-1 =? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Есть несколько способов сделать это.

Вычитание методом заимствования

Запишите двоичные числа одно под другим — меньшее число под большим. Если в нижнем числе меньше цифр, выровняйте его по правому краю (как вы пишете десятичные числа при их вычитании).
Некоторые задачи на двоичное вычитание ничем не отличаются от десятичного вычитания. Напишите числа одно под другим и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

Вот несколько простых примеров:

1-0 = 1
11-10 = 1
1011 — 10 = 1001

Рассмотрим более сложную проблему. Есть только одно правило, которое вам нужно запомнить, чтобы решать задачи на двоичное вычитание. Это правило описывает заимствование цифры слева, так что 1 можно вычесть из 0 (0 — 1).

110 — 101 = ?

В первом столбце справа вы получите разницу 0 — 1. Для ее расчета вам нужно позаимствовать цифру слева (вместо десятков).

Сначала удалите 1 и замените его на 0, чтобы получить эту проблему: 1010 — 101 = ?
Вы вычли («одолжили») 10 из первого числа, поэтому вы можете написать это число вместо числа справа (вместо единиц). 101 100 — 101 = ?
Вычтите числа в правом столбце. В нашем примере:
101 100 — 101 = ?
Правый столбец: 10-1 = 1.
102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210 (цифры в нижнем регистре указывают систему счисления, в которой записаны числа).
12 = (1×1) = 110.

Следовательно, в десятичной системе эта разница записывается в виде: 2 — 1 = 1.

Вычтите числа в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работать со столбцами, двигаясь справа налево):

101100 — 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

Вычитание методом дополнения

Записывайте двоичные числа одно под другим, когда вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, поскольку он основан на более эффективном алгоритме.

Однако для обычного человека, привыкшего к вычитанию десятичных чисел, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно ознакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

Рассмотрим пример: 1011002 — 111012= ?

Если значения чисел различаются, добавьте соответствующее число 0 к числу с меньшим значением слева.1011002 — 0111012= ?

Измените числа в числе для вычитания: измените каждую 1 на 0 и каждый 0 на 1.

0111012 → 1000102.

Фактически, «мы берем дополнение до единицы», то есть мы вычитаем каждую цифру из 1. Это работает в двоичной системе, поскольку такая «подстановка» может иметь только два возможных результата: 1 — 0 = 1 и 1 — 1 = 0.

К результату вычитания прибавьте единицу.

1000102+ 12 = 1000112

Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

1011002 + 1000112= ?

Проверьте свой ответ. Быстрый способ — открыть онлайн-бинарный калькулятор и ввести свою проблему. Два других метода включают ручную проверку ответа.

• Переводим числа в двоичную систему:
  Допустим, из числа 1011012 нужно вычесть 110112
• Обозначим буквой A число 1011012 и буквой B число 110112.
• Записываем числа A и B в столбец, один под другим, начиная с наименее значащих цифр (нумерация цифр начинается с нуля).

Res.	6	5	4	3	2	один	0
А		один	0	один	один	0	один
Б			один	один	0	один	один

• Вычтите бит за битом из числа A и из числа B, записав результат в C, начиная с младших битов. Правила побитового вычитания для двоичной системы счисления представлены в следующей таблице.

Заем из текущего ранга Ои-1	К	Би	Там	Заем из следующей категории Oi + 1
	0	0	0
	0	один	один	один
	один	0	один
	один	один	0
один	0	0	один	один
один	0	один	0	один
один	один	0	0
один	один	один	один	один

Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:

(ссуды соответствующей категории выделены красным цветом)

Получилось 1011012 — 110112 = 100102
или в десятичной системе счисления: 4510 — 2710 = 1810